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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
b) $f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=1$
b) $f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=1$
Respuesta
Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $2$ centrado en $x=1$ de la función $f(x)=2+3x+4x^{2}$
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
Reportar problema
$ p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 $
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(1)$, $f'(1)$ y $f''(1)$.
$ f(x) = 2 + 3x + 4x^{2} $
$ f(1) = 9 $
$ f'(x) = 3 + 8x $
$ f'(1) = 11 $
$ f''(x) = 8 $
$ f''(1) = 8 $
Reemplazamos ahora los valores que obtuvimos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor:
$ p(x) = 9 + 11(x - 1) + \frac{8}{2}(x - 1)^{2} $
$ p(x) = 9 + 11(x - 1) + 4(x - 1)^{2} $
Ahora razonemos esto unos segundos. Estábamos buscando un polinomio de Taylor de orden $2$, que aproxime bien a nuestra función, que es también un polinomio de orden $2$. Obtuvimos esto. Si hacemos distributivas y desarrollamos ese cuadrado... ¿te imaginás qué vamos a obtener? Otra pista: Graficá ahora en GeoGebra a $f$ y al polinomio de Taylor que obtuvimos 🤭
Pensando en lo que charlábamos en el item anterior, tiene sentido, no?